Post

viewed 1835 times

    • 1

    අනුකලනය තේරෙන සිංහලෙන්


    අනුකලනය කියන්නේ මොකද්ද ?

     

    අනුකලනය කියන සංකල්පය මුලින්ම ආවේ යම්කිසි දෙයක වර්ගඵලය සොයන්නේ කොහොමද කියන ැටලුවට පිළිතුරක් වශයෙන්. අපි දන්න තරමින් සමචතුරස්‍රයක , සෘජුකෝණාස්‍රයක, ත්‍රිකෝණයක පිරමීඩයක නැතිනම් ගොලයක  උනත් අපිට වර්ග ඵලය හොයන අපිට අමාරු නැහැ. නමුත් ගැටලුව එන්නේ හැඩය නිෂ්චිත නැති තැනකදී එහි වර්ග ඵලය සොයන්නේ කොහොමද කියල එක. මේකට විසදුමක් විදියට තමා අනුකලනය බිහි වුනේ.

    අනුකලනයේදී යොදා ගන්නේ අවකලනයේදී යොදා ගත් සිද්ධාන්තයේම අනික් පැත්ත. අවකලනයේදී  යම් තැනක අනුක්‍රමණ්‍ය සෙවීමයි අපි සිදු කලේ. ඒ කියන්නේ යම්කිසි විචල්‍යයක් යම් සීමාවකට යද්දී ශ්‍රිතයට මොකද වෙන්නේ කියන අදහස. එතෙන්දී යම් විචල්‍යයක් බින්දුවට ආසන්න අගයක් කරා යන ලෙස සැලකීමෙන් තමා y/x  අනුක්‍රමණය ලබා ගත්තේ.
    අනුකලයයේදී සිදුවන්නේ මේ බින්දුවට ආසන්නම යැයි යනුවෙන් ලබා ගත්ත මුලු අගයන් ප්‍රමාණය එකතු කරලා ඒ වක්‍රයේ වර්ගඵලය සෙවීම. මේ බව පැහැදිලී පහත රූප සටහන් බැලුවාම


     
    මෙයින් එක ප්‍රස්ථාරයක් තෝරාගෙන එහි යම් ස්ථානය, යම් අවස්ථාවක අදිනු ලබන සෘජු කෝණයක දිග ∆x   වලින්ද එ් අවස්ථාවේ y අගය පෙර අවකලනයේදී ලෙසම  f(w) වලින්ද නිරූපනය කරමු. මේ අනුව අප තැනින් තැන අදින සෘජුකෝණාස්‍ර වල දිග වන ∆w  සමාන වුවද එයට සාපේක්ෂ y අගයන් නැතිනම් f(w) අගයන් වෙනස් වේ මන්ද උස වෙනස් වන බැවිනි. (එනම් ඉහත ශ්‍රිතය f(w) = w2  ආකාර විය හැක.) කෙසේ හෝ අප මෙසේ  ∆w  බින්දුවටම ආසන්න ඉතා මත් කුඩා අගයක් කරාම යන ලෙස සලකා ඒ සියලු සෘජු කෝණ වල වර්ගඵලයන් එකතු කල හොත් අපහට ලැබෙන්නේ එම වක්‍රයේ වර්ග ඵලයයි.  එනම් අපගේ
     f(w) x w  මගින් දෙනු ලබන්නේ එක් සෘජුකෝණ වල වර්ගඵලයි (උස x පලල).  මේ සියලුම සෘජුකෝණ එකතු කලොත් අපිට ලැබෙන්නේ වක්‍රයේ වර්ගභලයයි.
    මෙය අපට මෙසේ පෙන්විය හැක . 

    E අකුර වගේ එකෙන් ගණිතයේදී පෙන්වන්නේ යම් රටාවක සියලුම අංග එකතු කරන බව පෙන්වීම. මෙතෙන්දී ඒක ඉස්සරහායින් පෙන්වන w හා ඊට අනුරූපව වෙනස් වුනු f(w) එකිනෙක වැඩි කරහම එන සියලුම සාජුකෝණ එකතු කරන බව පෙන්වීම. 0 හා 2 කියන්නේ මුලු w දිග ප්‍රමාණය. ඒ කියන්නේ 2 ඉදන් 0 දක්වා සියලුම සෘජුකෝණ එකතු කරන බව පෙන්වීම.  නමුත් මෙතන f(w) යන විචල්‍යය නිසා මේක පෙන්වන්න අපි S අකුරක් වගේ තියෙන විශේෂ ලකුණක් පෙන්වනවා. මෙතනදී x අක්ෂය නිරූපණය කිරීඹ w වලින් සිදු කලේ වැඩිකිරීමේ ලකුණ සමග පැටලෙන නිසා. නමුත් අවසානයේ අවකලනයේදී වගේම අනුකලනයේ මූලක සමීකරණය අපිට මෙහෙම පෙන්වන්න පුලුවන්. 

        

    මින් කියවෙන් f(x) හා ඊට අදාල (d) x අගයන් එකිනෙක වැඩි කරන බවයි. යම් සීමාවක් තියෙනවානම් ඉස්සෙල්ලා 0 හා 2 වගේ ,දැන් අර E අකුරේ වගේම මේ S අකුර වගේ එකේ කෙලවර දෙකෙන් පෙන්වනවා. 
    මෙම වර්ගපල සෙවීම වැදගත් වන තැන් මොනවාද ? උදාහරණයක් ලෙස කිසිවකුගේ ඉඩමක් සෘජු ආකාර නොවී වක්‍රවලින් පිරී පවතින්නක් නම් එහි වර්ගඵලය මැන ගැනීමට අනුකලනයේ පිහිට පැතීමට සිදුවනු ඇත.

    තවත් උදාහරණයක් ලෙස අප සතුව ඉලෙක්ට්‍රෝණ විදින තුවක්කුවතක් තිබේ යැයි සිතන්න. තත්පරයකට තුවක්කුවෙන් පිටවන ඉලෙක්ට්‍රෝණ ප්‍රමාණය නියතයක් නොවේ යැයි සැලකුවහොත් විනාඩියක කාලයක් තුල අපට මෙම ඉලෙක්ට්‍රෝණ පිටවීමට අදාල ශ්‍රිතය  හරහා විනාඩියක් තුල පිටවුනු මුලු ඉලෙක්ට්‍රෝණ ප්‍රමාණය සොයා ගැනීමට හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස ඉලෙක්ට්‍රෝණය විමෝචනය 3x +5x -10 වැනි ශ්‍රිතයකින් දැක් වේ නම් විනාඩියක් තුල පිටවුනු ඉලෙක්ට්‍රෝණ ප්‍රමාණය අවකලනය මගින් සොයා ගත හැක.
     
     
    මේ සාමාන්‍ය අනුකලනයක් පෙන්වන් ආකාරයයි එස් අකුර වැනි කොටසින් මෙය අනුකලනයක් බවත් දෙපස ඇති a හා b  මගින් අපගේ සීමාවන් දෙකද දැක්වෙනවා . ඉන්පසුව ඇති f(x) යනු අපට අනුකලනය කිරීමට අවශ්‍ය ශ්‍රිතයයි. dx මගින් පෙර අවකලනයේදී මෙන්ම xගේ ව්‍යුත්පන්න බව නිරූපනය කෙරෙනවා.
     
    f(x) = 3x ගැටලුවට විසදුමක් හෙව්වොත් විසදුම ඉතාම සරලයි. මොකද අනුකලනය  කියන්නේ අවකලනයේ අනික් පැත්ත. පවර් රූල් එක මතක නම් ඒකේ අන්ක් පැත්ත ගත්තොත් උත්තරේ.
     
                                                 x + c  
     
    මේකේ C වලින් කියවෙන්නේ මොකද්ද ? ඒ තමයි අපි කිසියම් ශ්‍රිතයක් අවකලනය කරන කොට යම් කිසි නියතයක් තිබුනොත් එහි ව්‍යුත්පන්නය සමාන වෙන්නේ බින්දුවට. මේක නිසා යම් ශ්‍රිතයක් අනුකලනය කරන කොට අපි දන්නේ නැහැ මේ ශ්‍රිතයේ කලින් නියතයක් තිබුනද කියලා. ඒ නිසා මේ සැකය නිසා අපි සෑම විටම අනුකලයක් අවසානයේ අගට නියතයත් එකතු කරනවා. නමුත් මේකේ ප්‍රායෝගික බවක් තියෙනවා . ඒ කියන්නේ යම් මට්ටමක ඉදන් නම් යම් මිනීමක් සිදු කරන්නේ ඒ අවස්ථාව දක්වා තිබුනු යම් මට්ටමක් මේ මගින් නිරූපනය කරන්න පුලුවන්. උදාහරනයක් ලෙස ස්ප්‍රින්ග් එකක් එල්ලුවාම ඒකෙම බරට යම් ප්‍රමාණයක් ස්ප්‍රින් එක දිග ඇරෙනවා. ඊට පස්සේ අපි තවත් බරක් මේකේ එල්ලලා  ඉහල පහල චලනය වෙන්න පටන් ගන්න ඇරලා ඒ පැද්දීම කෙලවර දක්වා එම චලනය ශ්‍රතයක නිරූපනය කලොත් අර මුලින් පටන් ගත්ත ඇදිලා තිබුනු ප්‍රමාණයෙන් ඉහලට බර චලනය වෙන් නැත්නම් ඒ ප්‍රමාණය C වලින් නිරූපනය කරන්න පුලුවන්.

    මේ නීතිය පවර් රූල් එකේම අනික් පැත්ත  ∫ xn dx = [x(n+1)/(n+1)] + c මෙහි n = -1 විය නොහැක.
     
    ඒ වගේම 

    ∫cos(x) dx  = sin(x) +c //

     
    ඉස්සෙල්ලා ගැටලුවම මෙහෙම ලිව්වොත් මොකද්ද මේ කිය වෙන්නේ. ඔව් කිසියම් a අගයක සිට b අගය දක්වා කියන එක. නැතිනම් සීමාවන් දෙකක් කියන එක. වක්‍රයක කොටසක වර්ග ඵලය සෙවීම කියලත් මේක කියන්න පුලුවන්.



    මෙතනින් ගැටලුවක් වෙන්න පුලුවන් අමාරු දෙයකට තියෙන්නේ කොටස් වශයෙන් අනුකලනය යන කොටසයි Substitution කොටසයි විතරයි . කොටස් වශයෙන් අනුකලනය කොටස මුලින් සලකමු. මේක ආවේ කොහෙන්ද ? අවකලනය කොටසේ  ව්‍යුත්පන්න සදහා ප්‍රොඩක්ට් රූල් එක මතක් කර ගන්න. (uv)' = uv' + u'v  මේක අනුකලනය කලොත් 

     
    ∫(uv)' dx = ∫uv' dx + ∫u'v dx
    වම් පැත්තේ තියේනනේ අවකලන සමීකරණයයි. ' ලකුණ මතක් කර ගන්න. අනුකලනය කියන්නේ ඒ ලකුණ ඉවත් වෙනවා. 
    uv = ∫uv' dx + ∫u'v dx  
    පොඩ්ඩක් පැති මාරු කරලා.
    ∫uv' dx = uv − ∫u'v dx

     

    ∫uv dx = u∫v dx − ∫u'(∫v dx) dx

    පහත ගැටලුව සලකන්න.
    x sin x dx. 
    මෙය කොටස් වශයෙන් අනුකලනය කරමු. මුලින්ම U සහ V අදුරා ගන්න .
    U අවකලනය කරන්න - U කියන්නේ එලියේ තියෙන කොටසයි. එනම්  X අවකලනයෙන් 
    X' = 1
    V අනුකලනය කරන්න.- V කියන්නේ ඇතුලේ තියෙන කොටසයි.                                = sinX  අනුකලනයෙන් =  -cosX
                           =  -x (cos(x)) +∫ 1 cos(x) 
    නැවත අග කොටස අවකලනයෙන්                       =  -xcos(x) + sin(x) + c // 
     
    මෙහිදී මතක තබා ගත යුත්තක් විය යුත්තේ ∫uv dx = u∫v dx − ∫u'(∫v dx) dx සමීකරණයේ  ∫u'(∫v dx) dx කොටසේදී පැවසෙන්නේ U වල අවකලනය නැවත ඉදිරියේ ඇති අනුකලන ලකුන යටතේ අනුකලනය කල යුතු බව නොවේ. U වල අවකලනය V හි අනුකලනයෙක් ගුණ කර අවසානයේ සමස්ථ ප්‍රතිපලය අවකලනය කිරීමයි.
     
       ∫(x + 2) e dx උදාහරණය සලකන්න 

     

    • u = x + 2
    • v = ex
    u අවකලනය u' = (x + 2)' = 1
    v අනුකලනය  v: ∫v dx = ∫ ex dx = ex
    සුලු කිරීමෙන්
    (x + 2) ex − ∫ exdx 
    = (x + 2)ex − ex + c
    = (x + 1)ex + c
    (මෙම උදාහරනය mathisfun වෙබ් අඩවියෙනි.)
     
    අවකල අනුකල අන්තර්ජාලය තුලින් සිදු කර ගැනීමට http://www.integral-calculator.com/ අඩවිය භාවිතා කල හැක. අවකලනය හා අනුකලනය රන ආකාරය කුමක් වවත් මේවා සෑම විටම මේවායේ මූලිකම සිද්ධාන්තය මත රදා පවතින බව මතක තමා ගන්න. මේවා හොදින් අවබෝධ වන්නේ එම මූලික සමීකරණයේ සිට මේ කොටස් වශයෙන් අනුකලනය ආදීයේදී සිදුවන දෙව අවබෝධ කර ගැනීමෙනි.ඒවා ව්‍යුත්පන්න කිරීමට උත්සාහ ගැනීමෙනි. මෙමගින් සෑම විටම ගැටලුවක් පහසුවෙන් අදුනා ගැනීමේ හැකියාවද තේරුම් ගැනීමටද හැකිවේ. එක් ගණනක් බැගින් උදාහරන වශයෙන් දී කොතරම් ගණන් හැදුවද මූලික ප්‍රමේයේ සිට ලැබෙන අවබෝධය ම ප්රධාන වේ . 
                            
    අවකලය අනුකලනය සරලව පහසුවෙන් ඉගෙන ගැනීමට ද ගැටලු විසදීමටද  http://www.mathsisfun.com/calculus/  අඩවිය භාවිතා කරන්න. 
     
    A/L O/L
Comments
Your Comment