Post

viewed 2955 times

    • 2

    අවකලනය තේරෙන සිංහලෙන්


    අවකලනය යනු කුමක්ද?

     

    ඉහත දැක්වෙන්නේ විස්තාපන කාල ප්‍රස්තාරයකි . නැතිනම් නියමිත කාල ප්‍රාන්තරයක් තුල වස්තුවක් එය ගමන ආරම්භ කල ස්ථානයේ කොතරම් දුරට ගමන් කර ඇද්දැයි පෙන්වන ප්‍රස්තාරයකි.



    ඕනෑම ප්‍රස්තාරය x හා y යනුවෙන් කන්ඩාංක රේකා දෙකක් පවතින බව අප දනිමු. ඕනෑම විටෙක. ත්‍රිමාණ ඛන්ඩාංක තලයක නම් Z රේඛාවතක්ද පැවතිය හැක.   සෑම විටම y එයට අදාල x අගයෙන් බෙදූවිට අපට ලැබෙන්නේ එම රේඛාවේ ඇල යයි. නැතිනම් අනුක්‍රමණයයි. මෙම් රේඛාවේ ඇල ඉර මගින් පෙන්නුම් කරන්නේ කුමක්ද? එනම් ප්‍රවේගයයි. මෙම වස්තුව නියත ප්‍රවේගයකින් ගමන් කර ඇත. වේගය සහ ප්‍රවේගය අතර වෙනස ප්‍රවේගයට දශාවක් තිබීමයි. එසේ නොමැතිව S1 මගින් පෙන්වන රේඛවා පමනක් මෙහි තිබුනේ නම් ඉන් කියවෙන්නේ වස්තුවක් කිසියම් ස්ථානයක t1 කාලයක් දක්වා නවතා තිබුනු බවයි.

    ඉහත විස්තාපන කාල ප්‍රස්තාරය  ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්තාරයකින් නිරූපනය කල විට දිස් වන්නේ පහත පරිදිය. නියමිත කාලයක් තුල නියත ප්රවේගයෙන් ගමන් කර ඇත.
     
     
     
     
     
    නමුත් ප්‍රවේග කාල පුස්තාරයක ඇල ඉරකින් නිරූපනය වන්නේ කුමක්ද එය ත්වරණයයි. එනම් පහත පරිදිය.
     
    මෙහි v1/t1 මගින් ලැබෙන්නේ ත්වරණයයි. 
     
    මෙසේ චලිනතය සම්බන්ධයෙන් ගැනීමේදී ප්‍රස්ථාරයක අනුක්‍රමණයක් නැතිනම් එප ඉරත් තිබීඹ මගින් නිරූපපනය වන්නේ වස්තුවක යම්කිසි චලනයකදී එම වස්තුවේ චලනයට සිදුවුනු වෙනසයි. විස්තාපන ප්‍රස්තාරයේ අනුක්‍රමණය ප්‍රවේගයයි. එසේම ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්ථාරයේ අනුක්‍රමණය ත්වරණයයි.  
     
    මෙහිදී විස්තාපන කාල ප්‍රස්ථාරයක් ව්‍යුත්පන්න කල විට ඉන් ලැබෙන්නේ ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්ථරයකැයි අපට පැවසිය හැක. ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්ථාරයක ව්‍යුත්පන්නය (derivative) ත්වරණකාල ප්‍රස්ථාරයකි. ව්‍යුත්පන්නය වනාහී කලනයේදී සිහියේ තබා ගත යුතු වැදගත් වදනකි. 
                                              
     
    මේ විස්තාවපන කාල ප්‍රස්ථාරය ආයෙමත් සලකන්න. අපට මෙහි ඇල ඉර නැතිනම් අනුක්‍රමණය නැතිනම් ප්‍රවේගය t අකුරට සාපේක්ෂව S හි වෙනස් වීමක් ලෙස නැතිනම් ශ්‍රිතයක් ලෙස දැක්විය හැක. 
    එනම් S(t)  =  V(t)  (විස්තාපනයේ ඇලය ප්‍රවේගයයි) එලෙසම V(t) = a(t) එසේම කාලයට සාපේක්ෂව ප්‍රවේගයේ වෙනස ත්වරණයයි. එම නිසා ප්‍රස්තාරයක ඇල ඉර නැතිනම් අනුක්‍රමණය ව්‍යුත්පන්නය ලෙස හැදිනේවේ. 
     
    නමුත් ස්වභාවධර්මයේ සිදුවන වෙනස් වීම් සිදු වෙන්නේ බොහෝ විට රේඛීයව නෙමෙයි. වක්‍රීයවයි. ඒ කියන්නේ කාර් එකකින් ගමනක් ගියත් වලාවකට වේගෙ වැඩි කරනවා වෙලාවකට අඩුකරනවා ඒ කියන්නේ ප්‍රවේගයත් අඩු වැඩි වෙනවා . සෑඹ විටම පවතින නියත ප්‍රවේගයක් වත් විස්තාපනයක් වත් නැහැ. 
                
    මේ ප්‍රස්තාරේ දැක්වෙන්නේ එහෙම අවස්ථාවක් මේ ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්තාරයෙන් නිරූපනය වන වස්තුවේ ත්වරණය ඒකාකාරී නැහැ. මේවගේ වෙලාවක මුලු ශ්‍රිතයේම අනුක්‍රමණය එකම සමීකරණයකින් නිරූපනය කරන්න බැහැ. නමුත් අපිට අවශ්‍ය වෙන්න පුලුවන් යම් t කාලයකදී  තිබුනු ත්වරණය මොකද්ද කියලා දැන ගන්න. අන්න ඒ වෙලාවේදී අප ි මුලින් කතා කලා වගේම ඒ සදහා අපිට අවශ්‍ය වෙනවා ඒ යම් ස්ථානයේ තිබුනු අනුක්‍රමණය දැන ගන්න.  මේක සරල කර ගන්න පහත ප්‍රස්තාරය සලකමු.
     
     

     

     
    දැන් මේ x කියන ස්ථානයේ අනුක්‍රමණය අපිට හොයා ගන්න පුලුවන්ද ? බැහැ.මොකද ඒ ලක්ෂ්‍යයට අනුක්‍රමන රාශියක් තියෙන්න පුලුවන්  නමුත් ලක්ෂ දෙකක් තිබුනනම් පහල විදියට අපිට යම් සැලකීමක් කරන්න තිබුනා.
     
     
    අපි z කියලා ලක්ෂයක් තවත් තැනතින් තිබ්බොත් x හා z ලක්ෂයත් අතර රේඛාවක් ඇන්දොත් ඒ ලක්ෂ දෙක එකිනෙකට යා කලොත් ඔන්න අපිට සෘජුරේඛාවක් හමු වෙනවා. දැන් අපි Z  ලක්ෂය ටිකෙන් ටික x අරන් එන කොට අපි ටිකෙන් ටික හරි  x ලක්ෂයේ නිවැරදි අනුකමණයට ලංවෙනවා. නමුත් අපිට හරිම උත්තරයක් ලැබෙන්න Z = x කලොත් බැහැ. ඒ නිසා අපි අනුමාන කරනවා z ආසන්න වශයෙන් x වෙතම යනවා නැත්නම් ඉතාමත් කෙටි මිනිය නොහැකි තරම් වෙනසක් දක්වා ඒ කියන්නේ ආසන්න වශයෙන් බිංදුව කරා ලංකලොත් අපිට x ලක්ෂය වන විට ප්‍රස්ථාරයේ නිවැරදි අනුක්‍රමණය ලැබෙනවා කියලා.
    දැන් ඒ z xට ආසන්නම වුනු අවස්ථාවේ රේඛාව පිහිටන විදිය අපි විශාල කරලා පහල විදියට සලකමු.

     

    මේක හොදින් බලන්න අපි  x සහ z  අක්ෂයන්ගේ  y අගයන් a සහ h අනුව x අක්ෂයේ ශ්‍රිතයන් ලෙස යොදා පෙන්වලා තියෙනවා.
    a කියන්නේ x ලක්ෂයේ x අක්ෂයේ අගය නම් එහි y අගය f(a) වලින් නිරූපනය කරනවා. Z ලක්ෂයේ x අක්ෂයේ අගය a+h නම් z ලක්ෂයේ y අගය f(a+h) වලින් දනක්වනවා. ඒ කියන්නේ h දුරකදී x හා y අගවයන්ගේ සිදුවුනු වෙනස් වීම. ඇත්තටම අපේ ඉහත උදාහරණයට අනුව h කියන්නේ දැන් z x ලක්ෂයට ලගාවුනු ඒ ආසන්න මොහොත. දැන් මේ ප්‍රස්ථාරයේ අනුක්‍රමණය අපිට
    f(t)  = f(a+h) – f(a) / h කියලා දක්වන්න පුලුවන් . මේක ගත්ත හැටි අමාරු වෙන්න බැහැ කාටවත්.
     
    මේක අපිට ලියන්න පුලුවන් z  x කරා පැමිණීම 0 කරා යෑමක් ලෙස සලකලා. Lim කියන්නේ මොකද්ද සීමාව.(limit).
    h->0lim    f(a+h) – f(a) / h
    h බින්දුව කරා යන කොට අනුක්‍රමණයේ සිදුවන වෙනස් කම් අපිට දැන් මේ සමීකරණයෙන් පෙන්වන්න පුලුවන්.
    කෙනෙකුට මෙහෙම අහන්න පුලුවන් h බින්දුව කරා යන කොට h = 2 වෙන කොට මොකද වෙන්නේ කියලා.
    ගණිතඥයෙක් ඕකට උත්තරේ දෙන්නේ උඩ සමීකරණය භාවිතා කරලා. ඒකියන්නේ h 2 සීමාවට යනකොට ශ්‍රිතයට මොකද වෙන්නේ කියන එක
    h->2lim    f(a+h) – f(a) / h
     
    අපි හිතමු අපි ලග තියෙනවා  ශ්‍රිතයක් f(x)=    x2+ 5x +6 කියලා මේක අවශ්‍ය නම් ශ්‍රිතයක අදින්න් පුලුවන්.
    කොහොමද කරන්නේ ? සමීකරණය a,b,c යනුවෙන් කොටස් තුනකට අපි සෑම විටම කඩනව.වැඩිවෙලා තියෙන සැබෑ ඉලක්කම් තමා මෙතනදී සැලකිල්ලට ගන්නේ.  පලවෙනියට තියෙන x  වර්ගගය වැඩි වෙලා තියෙන්නේ 1 න් දෙවෙනියට තියෙන එක 5න් තුන්වෙනියට හය. a = 1 , b = 5, c = 6 . ඇයි 6  1න් වැඩි වෙලා තියෙන විදියට ගන්නේ නැත්තේ ? .සමස්ථයක් වශයෙන් එතන පෙන්වන්නේ නියම සංඛ්‍යාවක් නිසා. ඊට පස්සේ සමමිතික අක්ෂය සොයා ගන්න සමීකරණය මොකද්ද ? x =     ඒ අනුව   =-2.5 ඒ කියන්නේ x =- 2.5  හරහා තමා සමමිතික අක්ෂය වැඩටිලා තියෙන්නේ. දැන් වගුවක්. පලවෙනි x අගය වෙන්නේ අපේ සමමිතික අක්ෂය ඒක දැම්මා සමීකරණයට ගත්තා y අගය . x2+ 5x +6  =  -2.52 +(- 2.5) x 5 +6 = 0.25 .ඊලග  y අගය හොයන ඒකට
     x = -1 කරමු.
    එතකොට (0,2) ඊලගට x අගයක් හොයා ගන්න x = 1 කරමු.  උත්තරේ  y = 12

     

    X
    Y
    -3
    0
    -2.5
    0.25
    -1
    2
    0
    6
    1
    12
    2.5
    24.75
    3
    30

     

    අපි දැන් අපේ සමීකරණය යොදා ගෙන මේක විසදමු. ඒ කියන්නේ h->0lim    f(a+h) – f(a) / h
    යොදා ගෙන. කරන්න තියෙන්නේ මේ සමීකරණය අපේ ශ්‍රිතයේ සමී කරණය . x2+ 5x +6   ඇතුලට රිංගවන එක.
    ඒ කියන්නේ අපි දැන් අනුකුමණය නැත්නම් ව්‍යුත්පන්නය හොයන්න යන්නේ  f’(2)  වෙනකොට.
    F(2) තමා කලින් අපි f(a) වලින් දැක්වුයේ. ඒක නිසා   අපි x    දක්වමු    .a ගේ ශ්‍රිතයක් ලෙස
     F(a) = a+5a +6
    F(a+h)  =  (a+h)+5(a+h) + 6
    ව්‍යුත්පන්නය පෙන්නන්න අපිට ‘ ලකුණ පාවිච්චි කරන්න පුලුවන්.
    f‘(2)   =  h->  0lim    =  (a+h)+5(a+h) + 6 –( a+5a +6)/h
    a = 2 නිසා
                   =  h->  0lim   h2+9h/h   
                    = h->  0lim         h(h+9)/h
                    = h->  0lim        h+9
                     h= 0  කල විට
                    = 9//
    එනම් h-> 0 කරා යනවිට a = 2 වන විට ශ්‍රිතයේ අනුක්‍රමණය 9 කි.  
    ඉතින් මේ තමා අවකලනය. සරල උදාහරණයක් හැටියට පහත විස්තාපන කාල ප්‍රස්ථාරය සලකන්න
     
    මේකේ ශ්‍රිතය f(x) = x වලින් දෙනවා
     මේ වාහනය ධාවනය වෙන්න පටන් අරගෙන ලගවෙනි තත්පර දහය තුල ගමන් කරපු දුර 100m කියලා හිතමු. අපි හිතම යම් අවස්ථාවක අපිට මේකේ ඡාරායාරූපයක් ගැනීඹ සදහා කැමරාවක් සකසන්න ඕනෑ. ඒ සදහා අපි මේක අවකලනය කරලා අනුක්‍රමණය සොයා ගත යුතු වෙනවා.
     
            F(a)   = h->0lim    f(a+h) – f(a) / h
    මේක අරගෙන f(x) = x ඇතුලට ඔබමු.
    h->0lim    (x+h)(x+h)(x+h) - (x)/h
     = h->0lim     x³ + 3x²h + 3xh² + h³ – x/h
    සුලු කරලා අන්තිමට h = 0 කෙරුවම
    = 3x2
    (අවකලනයේ පවර් රූල් එක එන විදිය මතක් වෙන්න ඕනෑ දැන් ඒ ගැන දන්න අයට.
    f’(x) =  n x(n-1))
    දැන් මේ ලබා ගත්ත උත්තරෙන් කියවෙන්නේ මොකද්ද? යම් කිසි කාලයක් තුල (x අක්ෂයේ) F(x) ප්‍රමාණයක් චලනය වුනු වස්තුවේ ප්‍රවේගය එහෙමත් නැත්නම් ශ්‍රතයේ අනුත්‍රමණය එහෙමත් නැත්නම් ව්‍යුත්පන්නය මේ මගින් කිය වෙනවා. ඒ කියන්නේ අපි සරලව හිතුවොත් මේ වාහනය තත්පර දහයක් තුල මීටර් 200 ක් ගියා කියලා එහෙම උනොත් ප්‍රවේගය ඇවිල්ලා 200/10 = 20 ms-1  . නමුත් ඒ කියන්නේ වස්තුව ඒකාකාර ප්‍රවේගයකින් ගමන් කලා කියන එක. ඒ ඇවිල්ලා සමස්ථ සාමාන්‍ය අගය. නමුත් පැහැදිලිවම මේ වස්තුවට ඒකාකාර ප්‍රවේගයක් තිබිලා නැහැ. නියම ප්‍රවේගය ලබා දෙන්නේ  3x සමීකරණයෙන්. තත්පර දහයකදී එයට 3x10   = 300ms-1 ප්‍රවේගයක් තිබිලා තියෙනවා. අවශ්‍යනම් තත්පර 20 , 30 දී උනත් ප්‍රවේගය ඒ තත්පරයටම බලන්න පුලුවන්. මේ තමා අවකලනය.
    යම් කිසිවක් කෑලි වලට බෙදලා ඒ ක්ෂණය තුල සිදුවුනු වෙනස බැලීමට අපි අවකලනය භාවිතා කරනවා.
    මෙතනින් පටන් ගන්න අවකලනය අපි මෙහෙම මුල ඉදන්ම සරලව විසදන්නැතුව සමීකරණ සෙට් එකක් භාවිතා කරලා පහසුවෙන් හොයනවා. ඒ කියන්නේත් මේ වගේ උදාහරණ ආදියෙන් ව්‍යුත්පන්න කර ගත්ත දේ.
    මේ තමයි වූත්පන්නයක් දැක්වීමට සාමාන්‍යයෙන් යොදා ගන්න ලකුණ. මේක කියවන්නේ x ට අනුරූප y ගේ වෙනස්වීම හෙවත් අනුක්‍රමණය. නැත්නම් ව්‍යුත්පන්නය.
    කියලා ගත්තොතත් මේකේ C වලින් පෙන්වන්නේ නියතයක් ඒ කියන්නේ යම් නියම සංඛ්‍යාවක්
    හරියට අපි 6 කියන සංඛ්‍යාව ව්‍යුත්පන්න කලොත් අපිට ලැබෙන්නේ 0 . ඇයි ඒ ?
     
    මේ තියෙන්නේ ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්ථාරයක්. a1 වලින් දැක්වෙන්නේ නියතයක් . නියත ප්‍රවේගයක්. ඉතින් අනුක්‍රමණය 0යි. ඒකම  nxn-1   වලිනුත් දක්වන්න පුලුවන්.
     
    නැත්නම්
    මේවගේ දෙයකින් කියවෙන්නේ මොකද්ද? එනම් x ට අනුරූපව y දෙවරක් ව්‍යුත්පන්න කර ඇති බවයි. මේකේ හැටියට s කියන්නේ විස්ථාපනය නම් හෝ දෙවන සමීකරණයේ පරිදි කාලයේ ශ්‍රිතය අනුව   a මගින් පෙන්නුම් කෙරෙන්නේ ත්වරණය. 
     
     
    සරලම උදාහරණය  Δs/Δt   ව්‍යුත්පන්නය v නැතිනම් ප්‍රවේගය.  Δ වලින් හැම වෙලේම පෙන්වන්නේ වෙනස් වීම කියන එක.  නැවතත් Δv/Δt ලබා දෙන්නේ ත්වරණය. එනම් s දෙවරක් ව්‍යුත්පන්න කර ඇති බවයි.
     
    වලින් එහෙමනම් මොකක් පෙන්නයිද ? ඔව් කාලයට සාපේක්ෂව ත්වරණය වෙනස් වීම.
     
    පහල වගුවලින් මේ ආකාරයෙන් නොයෙක් අවස්ථාවල යොදා ගත හැකි අවකල සමීකරණ දැක් වෙනවා. ත්‍රිකෝණ මිතික සමීකරණ පවා දැක ගන්න පුලුවන්. අපි මුලින්ම සාකච්ඡා කරපු පවර් රූල් එක පවා ඇති බලන්න. එ් වගේම ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතයක් තියෙන කොට ශ්‍රිත දෙකක බෙෙදීමක් තියෙන කොට කලයුත් දේ දැක ගන්නත්  පුලුවන්. හොදින් මතක තියා ගන්න මේ සියල්ලම අපි උඩ සාකච්ඡා කරපු සරල මුලධර්මය මතම පදනම් වෙලා ගොඩ නගලා තියෙන බව. මේ ඕනෑම එකක් ඒ හරහා ඔප්පු කරලා පෙන්වන්න පුලුවන්සාධාරණයි කියලා. 
    tan = x/y කියල ගන්න පුලුවන්. ඒක නිසා අනුක්‍රමණයට ටැංජන් ලයින් එක කියලාත් කියනවා.
    ඒ වගේම
     
     

                                                        

     
     
     
     
    ඒ කියන්නේ sinϴ    වලට අනුරූපව ව්‍යුත්පන්නය = cosϴ. sinϴ = 1 උනොත් cosϴ = 0. මොකද අපි දන්නවා හැම වෙලේම ව්‍යුත්පන්නයක් වෙන්නේ අනුක්‍රමණයක් කියලා. පහල ප්‍රස්ථාරයේ sin අනුක්‍රමණය බින්දුව හරහා යන කොට cos ශ්‍රිතයේ අනුක්‍රමණයක් නැහැ.
     
     
    මේ තමා අවකලනයේ පියා වන සර් අයිසෙක් නිව්ටන්ගේම f = ma සමීකරණයේ අවකලන ව්‍යුත්පන්නය. හොදින් බලන්න .මෙහි f(t) වෙනුවට x(t) යොදා ගෙන තියෙන්නේ බලය පෙන්වීමට යොදන F සමග ඇතිවන පටලැවිල්ල නවත්වා ගන්න. නැත්නම් ඕනෑම එකක් දාගත්තට කමක් නැහැ . x කියන්නේ t කාලයේ ශ්‍රිතයක් (x අක්ෂය) දෙවරක් ව්‍යුත්පන්න කරලා තියෙනවා .  ඒ කින්නේ ත්වරණය. බලය නැතිනම් f එම ශ්‍රිතයේම අනුරූපයක්
    මේක f(x(t)) වෙනුවට නිකම්ම f දැම්මත් x(t) වෙනුවට නිකම්ම x දැම්මත් වෙනසක් නැහැ. ලියන විදිය විතරයි. මේක ව්‍යුත්පන්න කරන්න පුලුවන් ත්වරණය ව්‍යුත්පන්න කිරීමෙන්මයි. අපි කලින් කලා වගේ.  .
     
    පහත රූපයෙන් අවකල ව්‍යුත්පන්න හා නීති ගැන සරලව හොද අවබෝධයක් ලබා ගන්න පුලුවන් ඒ වගේම https://www.mathsisfun.com/calculus/derivatives-rules.html යොමුවෙන් මේ නීති හා ක්‍රම යොදා ගන්න ආකාරය ඉතාමත් සරලව පැහැදිලිව පෙන්වලා දීළා තියෙනවා. 
     
     
       
     
    මේකේ ගැටලුවක් වෙන්න පුලුවන් තැනක් තියෙන්නේ චේන් රූල් එක තේරුම් ගැනීමේදීයි. චේන් රූල් එකේ අවකල ව්‍යුත්පන්ය තේරුම් ගන්න ලේසියි චේන් රූල් එකේ පෙන්වන දේ තේරුම් ගත්තොත්.
    F(g(x)) කියන එක තේරුම් ගන්න පුලුවන් ශ්‍රිතයක් තුල ශ්‍රිතයක් විදියට. උදාහරණයක් විදියට   g(x) = xසහ  f(x) = x+3     කියලා ගනිමු.   (g º f)(x) කියන්නේ  g(f(x)) කියන එකමයි. ඒ කියන්නේ
    g(f(x)) = (x+3)3   //    
     
    e  කියන්නේ මොකද්ද ?
    සාමාන්‍ය x2 ,   y   වගේම උනත් මේකේ පොඩි වෙනසක් තියෙනවා පහල බලන්න.   2! ,3! කියන්නේ මොකද්ද? ! පෙන්වන්නේ ෆැක්ටෝරියල් කියන එක.  ඒ කියන්නේ
    2! = 2 x 1   , 3! = 3 x 2 x 1 , 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1  කියන එක.

     

    අවකල ව්‍යත්පන්නය ඔප්පු කිරීම . (Power Rule)
     
    A/L O/L
Comments
Your Comment